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Buscándole cinco (¿ó tres?) pies al gato de Einstein

Título: On parametric tests of relativity with false degrees of freedom 
Autores: Alvin J. K. Chua and Michele Vallisneri
Institución del primer autor: Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, Pasadena, CA 91109, U.S.A. 
arXiv: arXiv:2006.08918 [astro-ph.IM]

“La ciencia, muchacho, está hecha de errores, pero de errores que conviene cometer, porque conducen poco a poco a la verdad”
Profesor Otto Lidenbrock – Viaje al centro de la Tierra – Julio Verne

Las predicciones de la relatividad general de Einstein (RG) han estado en completo acuerdo con los datos y resultados de todos los experimentos y mediciones gravitacionales hasta la fecha. ¿Es esta la teoría de gravedad que describe nuestro Universo? No. Debido a varias razones teóricas y observacionales, existen esfuerzos que buscan modificarla. Sin embargo, es la mejor descripción de la gravedad que tenemos hasta el momento. 

Seguramente las principales razones para buscar una mejor teoría son: la expansión acelerada y tardía del Universo -observacional- y la incompatibilidad que la RG tiene con la mecánica cuántica -teórica-. Modificarla, sin embargo, no es una tarea trivial y, de hecho, hasta la fecha no existe una “buena/aceptada” teoría candidata para hacerlo. ¿Por qué? Precisamente porque la RG ha pasado ya bastantes pruebas que la mayoría de teorías propuestas no logran pasar. Es decir, si se modifica alguno de sus pilares para resolver algún problema abierto, por lo general la nueva teoría no pasa otra prueba, o las diferencias son minúsculas con respecto a RG y no tenemos todavía la precisión instrumental para medir la diferencia. Es como si los físicos teóricos estuvieran jugando una especie de Whac-A-Mole (el juego de golpear con un martillo de plástico los topos que salen por los agujeros de un tablero) en busca de una Teoría del Todo, al estilo de Hawking y el sueño de Einstein. 

Algunas propuestas bien motivadas de unificación, como por ejemplo la teoría de cuerdas o la gravedad cuántica de lazos, resultan inadecuadas para realizar predicciones medibles y, en la mayoría de casos, simplemente no sabemos cómo resolver las ecuaciones. ¿Podemos tomar otra avenida? Sí, a través de pruebas con modelos paramétricos.

Un modelo paramétrico consiste en aumentar el modelo de Einstein con uno o más parámetros, y utilizar mediciones u observaciones para determinar el valor de esos parámetros. Si los parámetros son cero, entonces podemos estar en un escenario puramente descrito por la RG, y si se encuentran desviaciones entonces podemos estar midiendo, en principio, violaciones de la teoría de Einstein. Así de sencillo y así de complejo. Este astrobito trata sobre un trabajo reciente que menciona de manera contundente y consistente las limitaciones de este tipo de aproximaciones para realizar pruebas de la RG . 

Los parámetros del modelo aumentado (paramétrico) tienen como objetivo describir los grados de libertad adicionales, es decir las cantidades necesarias para determinar completamente el modelo. Estos grados de libertad pueden ser verdaderos o falsos. Los autores definen como verdaderos, los grados de libertad que describen cantidades con significado físico, como por ejemplo la velocidad de la luz, la masa del gravitón o simplemente una constante de acople de una teoría. Los grados de libertad falsos son, definidos por los autores, como los que permiten extensiones de la RG en direcciones que no tienen motivación física, como por ejemplo un parámetro sin dimensiones que “simplemente” introduce modificaciones. Ambos tipos de modelos paramétricos han sido estudiados por la comunidad científica. Sin embargo, para las pruebas que involucran grados de libertad falsos, o sin contenido físico, se requiere especial cuidado para su interpretación y uso. 

Los autores afirman que cuando se utilizan modelos con grados de libertad falsos, estos estudios eventualmente se verán afectados por errores estadísticos de interpretación que invalidan o debilitan algunas de las afirmaciones. En particular porque; i) no es posible dar una precisión fraccionaria de la estimación de los parámetros,  dado que no es invariante a la parametrización, es decir el parámetro se puede escalar en la mayoría de veces de manera arbitraria; ii) no se pueden comparar modelos, a través del factor de Bayes, puesto que este factor está influenciado por la selección de la parametrización (o modelo) y la especificación de la distribución a priori; iii) una buena inferencia estadística robusta de una prueba realizada a través de un modelo paramétrico, solo es posible si se puede contrastar con teorías específicas, es decir, no para métricas, de gravedad modificada para las que ya se les haya realizado el mismo test.

Veamos un poco más en detalle la primera afirmación de los autores, a través de un ejemplo inspirado en la literatura: estimar el valor de la constante π a través de la medición de ondas gravitacionales. ¿O_o? Sí, medir el valor de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro a través de un detector de ondas gravitacionales. En este sentido una violación de la RG se identificaría al recuperar un valor de π que sea estadísticamente distinto del valor que conocemos, después de que se tomen en consideración los errores de medición. 

Como analogía, los autores consideran la hipótesis de que un conjunto de N formas redondas bidimensionales son círculos perfectos, de acuerdo con alguna Teoría General de Circularidad [sic]. Se realizan tres mediciones (con su respectivo ruido y error instrumental) en cada forma: su radio r, circunferencia (2 π r) y área (π r2). Ahora, definamos un modelo paramétrico en donde se tienen, de manera análoga (r, 2 π α3 r, π α3 r2), siendo α un grado de libertad falso, es decir una modificación de nuestro querido número irracional π.

Los autores estiman primero el valor de la constante π utilizando el modelo de la Teoría General de Circularidad, que tiene solamente una variable; a saber, r. Para este fin, “promueven” a π de constante a variable (π ̅), y estiman los valores de r y de la variable π ̅ a partir de la simulación de N=10 formas. El resultado del estimado de esta nueva variable se presenta en el panel superior de la Fig. 1. Para estimar una desviación π, introducen un parámetro α, de la manera mencionada en el párrafo anterior, y a partir de las mismas diez formas estiman ahora el valor de estos tres parámetros.  El resultado del estimado del parámetro α se presenta en el panel inferior de la Fig. 1, en donde cada línea de color representa el resultado de una medición y la línea negra el resultado combinado de todas las observaciones.

Figura 1. Funciones de densidad del resultado del ejemplo. Cada línea de color presenta simulaciones individuales y las líneas negras el resultado combinado. Como se observa, tanto π (arriba) como α (abajo) son estimados con mejor precisión, siendo el error (la desviación estándar) en la estimación de α alrededor de tres veces más pequeño, lo cual es un resultado de la parametrización escogida. Las líneas verticales punteadas representan el valor verdadero de cada parámetro, π3.141592… y α=1.0, y respectivamente. Figura 1 del artículo original. 

Como se observa en la Fig. 1, al utilizar el modelo con un grado de libertad falso se llega a un resultado alrededor de tres veces más preciso (la distribución es menos ancha) que el de la medición de π. De hecho, se obtiene mayor precisión entre mayor sea el grado de la potencia de α en el modelo.  Por lo tanto, la precisión fraccionaria de la determinación del grado de libertad falso no es invariante a la parametrización, y es por eso que no se puede utilizar para evaluar el “rigor” de una prueba de la RG.

Los importantes puntos mencionados por los autores no aplican solamente a modificaciones paramétricas de la RG: aplican para cualquier extensión de cualquier teoría. Buscarle el quinto pie al gato de Einstein no es una tarea fácil, existen varias avenidas para hacerlo y debe hacerse con sumo cuidado.

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