La medida de las cosas

Título del libro: The Analytical Theory of Heat
Autor: Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman
Estado: Publicado en 1822, Traducido al inglés en 1878 [acceso abierto]
Astrobite original: The Measure of Things, por Emily Sandford

El artículo reciente de astronomía de hoy es un libro de 500 páginas y 200 años de antigüedad acerca del flujo de calor. Esto discutiblemente estira los límites de lo que es astrobitable, incluso para nuestra sección de clásicos,  pero yo digo que cuenta porque a) 200 años es reciente comparado con la edad del Universo, y b) los libros se imprimen en papel, así que nadie puede decirme que este no es un “paper” (En inglés, suele referirse a los artículos técnicos como “papers”, que se traduce literalmente como “papeles”, N. del T.)

Y si estás buscando importantes desarrollos en astronomía, ¡es difícil encontrar algo mejor que esto! Es el primer gran trabajo de Joseph Fourier, quien hizo todo tipo de importantes contribuciones a las matemáticas, la física, y extrañamente, a la egiptología. En el capítulo 4 de este libro, anotó una ecuación para el flujo de calor que es todavía la primera ecuación diferencial en derivadas parciales que la mayoría de los físicos aprenden  a analizar. En el capítulo 3, directamente inventa las series de Fourier, las cuales los astrónomos usan para estudiar señales que cambian con el tiempo, desde estrellas pulsantes a agujeros negros girando uno alrededor del otro.

Figura 1: Los matemáticos Adrien-Marie Legendre (izquierda) y Joseph Fourier (derecha). Legendre, quien trabajaba en ecuaciones en coordenadas esféricas, era famoso por sus celos de la cabeza perfectamente esférica de Fourier.

Pero voy a dejar eso a un lado y en su lugar voy a centrarme en una pequeña porción del capítulo 2. Cuatro páginas, que presentan una idea tan simple que es difícil creer que a alguien se le hubiera ocurrido. Pero es una idea que está directamente en el corazón de la física.

“Debe ahora notarse que cada magnitud indeterminada o constante tiene una dimensión propia a si misma, y que los términos de una misma ecuación no pueden ser comparados, si no tienen el mismo exponente de dimensión.” [Énfasis del original]

Esta idea es lo que ata a la física con el mundo que debe explicar. Los físicos intentan describir el comportamiento de planetas y nubes de electrones con bonitas ecuaciones matemáticas. Los términos de esas ecuaciones tienen que significar algo, tienen que corresponder a la realidad que medimos, fotografiamos y pesamos.

Eso significa que cada cantidad física, cada cosa medida, que etiquetamos con un símbolo, y aparece en una ecuación, tiene como dice Fourier, dimensión: el carro  viaja no a “100”, sino a “100 millas por hora”; la bóveda no está a “75”, sino a “75 metros” bajo tierra, y contenía no “50 millones”, sino “50 millones de dólares”; el corte de energía en la cámara de seguridad no duró “4”, sino “4 minutos”; yo no estaba a “200”, sino a “200 millas” de ese sitio cuando ocurrió, así que literalmente ¿por qué me lo estás preguntando siquiera?

Figura 2: Las dimensiones de cada variable que aparece en la ecuación del flujo de calor de Fourier. x es una longitud, así que tiene unidades de longitud¹ × duración⁰ × temperatura⁰. La “conductividad superficial” (surface conductibility) h  tiene unidades de 1/(longitud² × duración¹ × temperatura¹), lo cual tiene sentido porque describe la cantidad de calor que fluye desde una sustancia por el área superficial de dicha sustancia, por el tiempo que el calor está fluyendo, por la temperatura de la sustancia.

Y dado que cada cantidad tiene una dimensión, solo tiene sentido comparar cantidades con la misma dimensión. Las unidades de los lados derecho e izquierdo de tu ecuación deberían coincidir. Puedes comparar longitudes con longitudes (0.62 millas equivalen a 1 kilómetro), pero no longitudes y tiempos, o masas, o grados  de temperatura. Soy de la opinión personal que un perro vale más que un millón de dólares, pero para mi frustración, no puedo expresar eso como una ley física.

Esta idea de Fourier, la cual ahora llamamos análisis dimensional, parece realmente obvia, pero es increíblemente poderosa por un par de razones. Primero, como cualquier estudiante de GRE de física (exámenes para acceder a posgrados en algunos países anglosajones, N. del T.) puede decirte, es posible estimar la respuesta a una pregunta suponiendo que unidades debería tener dicha respuesta, y desarrollando hacia atrás. Por ejemplo, digamos que observas que el centro de una galaxia cambia su brillo dramáticamente durante t segundos, pero no tienes la resolución necesaria con tu telescopio para saber qué tan grande es este centro galáctico. Estás buscando una respuesta con unidades de longitud, así que tomas la escala de tiempo t y la multiplicas por la velocidad de la luz, que tiene unidades de distancia sobre tiempo y ¡Voila! obtienes la máxima distancia que la luz pudo haber viajado durante el tiempo t, y por tanto el tamaño máximo de tu misterioso centro galáctico. (¡Cualquier cosa más grande no habría tenido tiempo de cambiar tan dramáticamente su brillo en un tiempo tan corto!)

Segundo, el análisis dimensional implica que las leyes físicas son verdaderas, independientemente de cómo los humanos eligen medir las cosas. Podemos usar kilogramos cuando pesamos una roca, y masas solares cuando pesamos una galaxia, pero la gravedad aplica a ambas por igual. El comportamiento del Universo tal como se expresa en nuestras ecuaciones sigue siendo el mismo, sin importar nuestras elecciones arbitrarias. ¡Buenas noticias para aquellos de nosotros que no usamos aun el sistema métrico!